Les tirs au but, et la théorie des jeux

« Il a pas l’air en forme, c’est sûr le gardien va l’arrêter – Il va le mettre à droite – Non là je le sens bien à gauche – De toute façon, il attend toujours le dernier moment » Tout le monde s’est déjà risqué à tenter son pronostic. Au moment où le tireur s’avance, c’est un duel sans merci qui s’ouvre avec le gardien adverse. Plus qu’une question de hasard, cet exercice est aujourd’hui analysé, décrypté et tente d’être maîtrisé dans le moindre détail. Pourtant la théorie des jeux, modèle mathématique qui s’intéresse aux interactions et aux choix des individus, offre une véritable grille de lecture des tirs aux buts. Développée par Oskar Morgenstern et John von Neumann dans leur ouvrage Theory of Games and Economic Behavior (publié en 1944), la théorie des jeux est aujourd’hui un axe de réflexion majeur et un outil théorique clé en microéconomie. Les tirs au but (et les coups de pieds arrêtés) sont une belle occasion de l’explorer.

Le dilemme du prisonnier, les fondements de la théorie des jeux

En premier lieu, la théorie des jeux constitue une véritable réponse à la théorie néoclassique standard. Cette dernière s’inscrit dans le cadre de la concurrence pure et parfaite depuis l’ouvrage fondateur Eléments d’économie pure (1874) de Léon Walras. Ces cinq conditions, précisées dans Risk, Uncertainty and Profit (1921) de Frank Knight, lorsqu’elles sont réunies permettraient un optimum de Pareto, c’est-à-dire une situation où on ne peut améliorer la situation d’un agent A sans détériorer la situation du joueur B. Or la théorie néoclassique combinée à l’approche utilitariste envisage que la recherche de son propre intérêt qui permet de maximiser l’utilité collective. Ainsi selon Adam Smith, le boulanger réalise également notre propre intérêt lorsqu’il fait son pain de la meilleure des manières possibles. Pourtant même si cet élément théorique est fort, il ne nous permet pas de comprendre par exemple ce qui fait qu’une coopération entre un agent A et un agent B peut leur être tous les deux profitables, dans le cadre d’une entente d’entreprise par exemple. Afin d’illustrer cette incohérence, Albert W. Tucker développe en 1950 le dilemme du prisonnier.

Deux voleurs se sont fait prendre par la police et ont le choix entre avouer à la police ou ne pas le faire. La théorie des jeux permet ainsi d’évaluer le gain de chaque prisonnier compte tenu de son choix mais aussi du choix de l’autre joueur. A la même période, l’américain John Nash définit ce qu’est « l’équilibre de Nash », c’est-à-dire une situation où le joueur A (ou B) a effectué la meilleure décision peu importe celle qui a été choisi par l’autre joueur. En l’espèce dans l’incertitude de la décision de l’autre prisonnier, le prisonnier A aurait tout intérêt à dénoncer son acolyte car il minimise sa perte potentielle. L’équilibre de Nash dans le dilemme du prisonnier de Tucker est alors que les deux joueurs avouent. Pour autant cela ne constitue pas un optimum de Pareto, soit la meilleure situation pour les deux joueurs qui consisteraient chacun à se préserver (schéma : ils ne prendraient alors qu’une année de prison tous les deux). La situation est la même par exemple sur un coup franc ou une action collective où chacun a souvent un intérêt rationnel à jouer sa propre partition, mais l’optimum global consisterait en une action collective. Tout l’intérêt économique de la théorie des jeux se trouve ainsi là. En dépassant le modèle orthodoxe et les interactions du modèle standard, elle ouvre de nouvelles perspectives de réflexion et des arguments hétérodoxes même en matière de microéconomie.

Les tirs aux buts : un jeu à somme nulle et non coopératif

La théorie des jeux est particulièrement intéressante dans le sens où elle s’intéresse à un nombre extrêmement important de situations et redéfinit le concept même de « rationalité ». Avec la théorie néoclassique, un individu rationnel est un individu hédoniste (qui recherche la plus grande utilité) et égocentrique (qui cherche uniquement son propre intérêt). Si la théorie accepte le cadre néoclassique et la grille de réflexion microéconomique, elle en élargit les standards et les constats. On peut ainsi en distinguer les sommes à somme nulle (comme la belote, seulement un certain nombre de points à distribuer) des jeux à somme non nulle (comme en commerce international) ; les jeux coopératifs où les joueurs collaborent des jeux non coopératifs ; ou encore les jeux simultanés (comme pierre-papier-ciseau) des jeux séquentiels (où les joueurs n’effectuent pas leur prise de décision en même temps). En l’espèce les tirs au but sont un jeu à somme nulle puisque seul le tireur ou le gardien peut en ressortir gagnant. En simplifiant le jeu à l’extrême, le tireur peut soit tirer à droite soit à gauche, le gardien plonger soit à droite soit à gauche, et que le gardien a 100% de chances d’arrêter le tir s’il part du bon côté. Dans ces hypothèses, la matrice des gains d’un tir au but peut alors se définir ainsi :

Néanmoins cette matrice reste relativement simpliste. On peut en effet considérer qu’il est normal pour un tireur de marquer son tir au but, alors qu’il s’agit d’un exploit pour un gardien, donc le gain de l’arrêt sera théoriquement bien supérieur pour un gardien au fait de marquer pour un tireur. De surcroît un droitier a théoriquement plus de chances de tirer son tir au but d’un côté, et un gaucher d’un autre. On dit par exemple qu’un droitier va souvent croiser son tir, alors qu’un gaucher va souvent ouvrir son pied. Dans cette perspective un gardien expérimenté va souvent prendre en compte ces éléments, ce qui va influer également ses probabilités de plus ou moins partir d’un côté. La matrice de gains devrait donc être pondéré vis-à-vis de ces probabilités ainsi qu’inclure le haut et le bas du but, ou le fait de tirer au centre. Si cela n’est pas notre approche ici, les tirs au but sont relativement comparables à une partie de pierre-papier-ciseau où le joueur doit tenter de trouver la meilleure stratégie. La dimension technique et psychologique corrobore néanmoins toute la difficulté du tir au but et sa singularité. Des ouvrages comme Pourquoi les tirs au but devraient être tirés avant les prolongations de Pierre Rondeau en témoignent. En l’espèce le travail de Chiappori & al. sur 459 pénaltys en Ligue 1 en Italie, ou celui de Palacios-Huerta sur un échantillon de plus de 1417 pénaltys entre 1995 et 2000 révèlent néanmoins que les tireurs effectuent des choix relativement rationnels. A force de renforcement des staffs et de travail statistique, les tirs au but deviennent véritablement des théories des jeux où le calcul n’est pas écarté mais omniprésent. Dans ce contexte, il faut se démarquer : être imprévisible.

Le dilemme de la poule mouillée ? Une nouvelle vision de l’exercice

Dans le cadre d’un jeu non coopératif et à somme nulle, comme les tirs au but ou pierre-papier-ciseau, l’enjeu stratégique principal est de réussir à surprendre son adversaire. Cela est d’autant plus le cas dans un jeu dit semi-séquencé, le tireur va d’abord prendre une décision et quelques secondes plus tard le gardien va lui aussi prendre la sienne. Dans cette opposition, le vainqueur est souvent celui qui arrive à dissimuler le plus d’information à son adversaire. Les meilleurs tireurs de pénalty comme Neymar, Mario Balotelli ou Cristiano Ronaldo sont réputés pour ne pas véritablement avoir de côté de prédilection, en revanche ils attendent souvent le dernier moment et une première information du gardien inverse pour pouvoir placer au mieux leur ballon. Le travail technique, psychologique et tactique de préparation, a alors pour but d’offrir au tireur le plus de facilité et de liberté dans cette prise de décision. Le professeur de sciences politiques américain Robert Axelrod ainsi développé un modèle de théorie des jeux dite de la « poule mouillée ». Deux voitures se lancent l’une vers l’autre, prêtes à se rentrer dedans, l’une des deux doit forcément dévier mais le comportement de « dur » consiste à ne pas dévier et de montrer à son adversaire que l’on n’a pas peur, le perdant est alors la « poule mouillée ».

Le dilemme de la « poule mouillée » s’applique relativement bien aux tirs au but et montre tout l’enjeu pour le tireur. S’il dissimule le plus longtemps possible son intention et réussit son geste techniquement, il est pratiquement certain de marquer. Le même dilemme de la poule mouillée a notamment été utilisé en sciences politiques pour expliquer la crise des fusées de Cuba. Alors que Nikita Khrouchtchev et Kennedy se retrouvent au bord de la guerre nucléaire, le leader de l’ « URSS » déclare : « si les Etats-Unis veulent la guerre, alors nous nous retrouverons en enfer ». Pourtant sous la pression nucléaire, c’est finalement Khrouchtchev qui va donner l’ordre de démanteler les sites de missiles à Cuba. Kennedy remporte alors un dilemme de la poule mouillée, il n’a pas dévié sa voiture mais a évité l’accident. La configuration d’un tir au but est d’ailleurs modifiée si les deux joueurs (gardien et tireur) se connaissent ou s’ils doivent retirer un tir au but puisqu’ils ont déjà été amenés à jouer tous les deux ce duel. Certes un tir au but n’est pas véritablement un dilemme de la poule mouillée car il n’y a pas d’ « accident » possible qui impliquerait une grande perte pour les deux joueurs. Néanmoins cet autre cas d’étude montre toute l’importance de la rétention d’information, pour le tireur comme pour le gardien.

Un pan nouveau pour la microéconomie

A rebours de la microéconomie standard dédiée à la concurrence, au fonctionnement parfait des marchés, aux théories du producteur ou du consommateur, la théorie des jeux sous ses différents aspects, a ouvert de nouveaux champs de réflexion qui se sont prolongés dans les théories des contrats ou même d’autres sciences sociales. Le cas des coups de pieds arrêtés en football, et plus particulièrement des tirs au but révèlent à quel point cette modélisation mathématique est riche de grilles de lecture et d’application. Elle offre aujourd’hui des modélisations intéressantes de situation de duopole, de dumping et est le fruit d’un important travail de recherche. Ainsi la prochaine fois que vous poserez le ballon pour tirer un penalty (ou un tir au but), vous pourrez être serein. Vous savez ce que vous avez à faire dans un jeu non coopératif à somme non nulle. Être imprévisible et attendre le dernier moment, sans pour autant négliger la sûreté technique, une recette fiable pour vaincre n’importe quel gardien. Et puis soyez tranquille. Même si vous manquez votre tir au but, on trouvera bien un modèle de théorie des jeux pour vous excuser. 

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